• Quero saber se o candidato \(A\) vai ganhar as eleições para prefeito.

• Quero saber o parâmetro populacional \(p\) = proporção de pessoas que votam em \(A\).

• Posso esperar o resultado das eleições para saber, ou seja, teríamos as respostas de todas as pessoas da cidade.

• Posso usar uma amostra para estimar a proporção de votos para \(A\).

• Quão boa é a estimativa? É precisa?

• Posso pensar no problema de duas formas: Modo 1 e Modo 2.

• Cidade com \(N\) pessoas.

• \(X_i = 1\) se a pessoa \(i\) vota em \(A\)

• \(X_i=0\) se a pessoa \(i\) não vota em \(A\).

• \(\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_N)\): respostas de toda a população (temos no dia da eleição).

• Média populacional: \[p=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\]

• \(p\) = proporção de pessoas que votam em \(A\) na cidade

• \(\sigma^2=p(1-p)\) é a variância da população.

• Até o dia da eleição, não sabemos \(p\).

• Coletamos uma amostra aleatória de tamanho \(n\) para uma pesquisa eleitoral.

• \(\hat{p}\): proporção de pessoas que votam em \(A\) na amostra.

• Quão boa é a estimativa? É precisa?

• Se outra pessoa também coleta uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula \(\hat{p}\) teremos o mesmo valor?

\[\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_5)=(1,0,1,0,1)\]

\[p=\frac{\sum_{i=1}^5X_i}{5}=\frac{3}{5}=0.6\]

\[\begin{eqnarray} \sigma^2&=&\frac{1}{5}\sum_{i=1}^N(X_i-p)^2\\ &=&\frac{3\times(1-0.6)^2+2\times(0-0.6)^2}{5}\\ &=&0.24\\ &=&p(1-p) \end{eqnarray}\]

Distribuição amostral de \(\hat{p}\):

\[\begin{eqnarray} E(\hat{p})&=&0\times 0.16 + 0.5\times 0.48 + 1\times 0.36 = 0.6 = p\\ &\\ Var(\hat{p})&=&E[(\hat{p}-p)^2]\\ &=&0.16\times(0-0.6)^2 + 0.48\times(0.5-0.6)^2 + 0.36\times (1-0.6)^2\\ &=&0.12=\frac{0.24}{2}=\frac{p(1-p)}{n} \end{eqnarray}\]

Suponha que a resposta de uma pessoa da cidade sobre se vota ou não no candidato \(A\) possa ser representada por uma variável aleatória. \(X\) que assume o valor \(1\) com probabilidade \(p\) ou \(0\) com probabilidade \(1-p\).

\(\begin{aligned} X &\sim Bernoulli(p)\\ & \\ \mathbb E(X) &= 1 \times P(X=1) + 0 \times P(X=0) \\ &= 1\times p + 0\times (1-p) = p\\ & \\ Var(X) &= \mathbb E[(X - p)^2] \\ &= (1-p)^2 \times P(X=1) + (0 - p)^2 \times P(X=0) \\ &=p(1-p)^2+(1-p)p^2\\ &= p(1-p) \end{aligned}\)

• Modo 1: repostas são “fixas”, com média populacional \(p\) e variância populacional \(p(1-p)\).

• Modo 2: respostas são v.a.’s \(X\sim Bernoulli(p)\), \(E(X)=p\), \(Var(X)=p(1-p)\).

• Em ambos os casos, a partir do momento que retiro uma amostra aleatória de tamanho \(n\), temos as mesmas propriedades e comportamento para a proporção amostral \(\hat{p}\): \(E(\hat{p})=p\) e \(Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\)

E, conforme \(n\) aumenta, vimos nos gráficos que: \(\hat{p}\sim \mathcal{N}\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\)

• Quero saber o salário médio das pessoas de uma certa cidade (parâmetro populacional de interesse).

• Posso usar uma amostra e estimar usando a média amostral.

• Quão boa é a estimativa? É precisa?

• Posso pensar no problema de duas formas: Modo 1 e Modo 2.

Resultado

• Para uma amostra aleatória \(X_1, \ldots ,X_n\) coletada de uma população com média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}\)

• a distribuição amostral de \(\bar X\) aproxima-se de uma distribuição Normal de média \(\mu\) e variância \(\frac{\sigma^{2}}{n}\), quando \(n\) for suficientemente grande:

\[\bar{X}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)\]

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\]

Obs: o resultado vale para \(\hat{p}\), com \(\mu=p\) e \(\sigma^2=p(1-p)\).

Suponha que \(X\) denota o tempo de vida de um transistor (em horas) e seu comportamento pode ser representado por uma distribuição Exponencial, tal que \(X \sim Exp(2)\), ou seja: \[f_{X}(x) = 2e^{-2x}, \qquad \mbox{para } x \geq 0.\]

Sabemos que:

\(\mathbb E(X) = \frac{1}{2}\)

\(Var(X) = \frac{1}{4}\)

Os tempos de vida de 100 transistores escolhidos ao acaso são coletados e a média dos tempos é calculada, denotada por \(\bar X_{100}\).

Desejamos estudar a variável aleatória \(\bar X_{100}\).

Sabemos que: \[\mathbb E(\bar X_{100}) = \frac{1}{2} \mbox{ e } Var(\bar X_{100}) = \frac{1/4}{100} = \frac{1}{400}\]

Então, pelo TLC:

\[\displaystyle \bar X_{100}\sim N \left(\frac{1}{2},\frac{1}{400}\right).\]

\(X=\) resultado obtido no lançamento de um dado honesto.

\(\mathbb E(X) = \frac{1}{6}\times(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3.5\)

\(Var(X) = \frac{1}{6}[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+\ldots+(6-3.5)^2] = \frac{17.5}{6} = 2.92\)

• \(X_i\): resultado do \(i\)-ésimo lançamento de um dado honesto.

• \(X_i\) tem distribuição uniforme discreta.

• \(\mu = \mathbb E(X_i) = 3.5 \qquad\) e \(\qquad \sigma^2 = Var(X_i) = 2.92\)

Se \(\quad \widehat p = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}=\frac{S_n}{n} \quad \Longrightarrow \quad S_n = n\widehat p\).

Quando \(n\) é grande o suficiente: \(\quad \widehat p \sim N \left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\)

Nesse caso, qual a distribuição de \(S_n\)?

Vimos que \(S_n = X_1 + \ldots + X_n \sim Bin(n, p)\)

Pelas propriedades da distribuição Normal: \[S_n = n \widehat p \sim N \left(np, np(1-p) \right)\]

Portanto, quando \(n\) é grande, \(Bin(n, p) \approx N \left(np, np(1-p) \right)\)

Um dos principais objetivos da Estatística é tirar conclusões a partir dos dados.

Dados em geral consistem de uma amostra de elementos de uma população de interesse.

Usar a amostra para tirar conclusões sobre a população.

Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?

Variável: Característica numérica do resultado de um experimento.

Parâmetros: Característica numérica (desconhecida) da distribuição dos elementos da população.

Estimador/Estatística: Função da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar um parâmetro de interesse na população.

Estimativa: Valor numérico que um estimador assume para uma dada amostra.

Erro amostral: é a diferença entre um estimador e o parâmetro que se quer estimar.

Seja \(X_{1},...,X_{n}\) uma amostra e \[T = f(X_{1}, \ldots, X_{n})\] é uma estatística.

Exemplos:

• \(\bar X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\frac{1}{n}(X_{1}+...+X_{n})\)

• \(X_{(1)}=min\{X_{1},...,X_{n}\}\) ou \(X_{(n)}=max\{X_{1},...,X_{n}\}\)

• \(X_{(i)}\) é o i-ésimo valor da amostra ordenada

Note que uma estatística é uma função que em uma determinada amostra assume um valor específico (estimativa).

Para que serve uma estatística?

Para “estimar” características de uma população.

População:

• Média \(\mu\)
• Proporção \(p\)

Amostra:

• Média Amostral \(\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)
• Proporção Amostral \(\hat{p}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)

Temos interesse em saber a média e a variância da altura dos brasileiros: \(\mu\) e \(\sigma^2\).

Solução 1: Medir a altura de todos os brasileiros.

Solução 2: Selecionar de forma aleatória alguns brasileiros (amostra), analisá-la e inferir propriedades para toda a população.

• Cada quantidade de interesse (como \(\mu\) e \(\sigma^2\) no exemplo anterior) é chamada de parâmetro da população.

• Para apresentar uma estimativa de um parâmetro (\(\widehat \mu\) e \(\hat{\sigma}^2\)), devemos escolher uma estatística (\(T\)).

• Note que da maneira que o plano amostral foi executado (amostra aleatória), a estatística \(T\) é uma variável aleatória, visto que cada vez que executarmos o plano amostral poderemos obter resultados diversos.

• Portanto, a estatística \(T\) possui uma distribuição de probabilidade, chamada de distribuição amostral de T.